원서발췌 추측술

오늘날 우리는 도박에서 경우의 수와 확률을 매우 밀접하게 생각한다. 하지만 18세기 초만 하더라도 그 둘은 멀리 떨어져 있었는데, 그 둘을 이어준 책이 바로 ≪추측술≫이다. 1654년 파스칼과 페르마가 도박 문제를 수학적으로 풀기 시작한 이후, 1657년 확률에 대한 최초의 출판물인 하위헌스의 글이 발표되었다. 그 뒤 한동안 뜸하던 연구는 18세기 초에 스위스의 야코프 베르누이, 프랑스의 드몽모르, 영국의 드무아브르의 중요한 연구들이 출판되면서 크게 도약했다. 이 세 사람의 연구 중에서 ≪추측술≫이 가장 앞선 것으로 평가된다.
이 책은 네 부분으로 구성되어 있다. 기댓값이나 조합에 대한 베르누이의 독창적인 연구와 해석뿐만 아니라, 이미 다른 사람이 발표한 결과와 그에 대한 설명 등이 실려 있다. 또한 ‘확률’의 분명한 정의와 도박, 경제, 도덕 등 여러 분야에서 확률 이용, 무엇보다 그때까지 볼 수 없었던 극한 정리를 확인할 수 있다.
제1부는 하위헌스가 쓴 ≪우연에 따르는 게임의 추론에 대하여≫(1657)를 그대로 싣고 거기에 상세한 해설을 덧붙인 것이다. 하위헌스의 글에는 정리가 열네 개 실려 있고 문제가 다섯 개 실려 있는데, 베르누이는 하위헌스의 모든 정리에 상세한 해설을 붙였고 다섯 개의 문제도 독자적인 방법으로 상세히 풀었다. 제2부의 내용은 조합과 순열에 대한 설명이다. 제3부는 제1부의 기댓값과 제2부의 조합에 대한 내용을 실제 게임 문제에 적용하는 것들로서 모두 스물네 문제와 풀이로 이루어져 있다. 이 책의 가장 핵심적인 부분은 제4부다. 여기서 베르누이는 비로소 확률을 처음으로 정의하는데 그 정의에 따르면, 확률이란 ‘확실성이 어느 정도인가’를 말하는 것이다. 확률과 함께 제4부에서 중심이 되는 내용은 나중에 ‘큰수의 약한 법칙(weak law of large numbers)’이라고 불리게 되는 중요한 정리와 그 증명이다. 이 정리는 확률 이론의 역사에서 최초로 등장한 극한 정리일 뿐 아니라 수학사 전체를 통틀어 보더라도 가장 먼저 등장한 극한 이론이었다. 이 정리를 베르누이가 어떻게 제시하고 증명했는지 베르누이 자신의 글을 통해 살펴보면 그가 생각한 정리는 여러 세부적인 면에서 오늘날 교과서에서 볼 수 있는 정리와 차이가 나며, 증명 또한 오늘날의 밋밋하고 단순한 증명과는 매우 다름을 확인할 수 있을 것이다.

확률의 역사, 통계학의 역사에서 중요한 고전 ≪추측술≫을 우리말로 처음 소개한다. 1713년 발표한 ≪추측술≫은 확률을 연구한 인류 최초의 책이다. 당시까지 진행된 ‘기댓값’과 ‘조합’에 대한 베르누이 나름의 해석과 함께 수학사 최초의 극한 이론인 ‘큰 수의 약한 법칙’을 제시하고 증명했다.
이 책은 그다지 중요하지 않은 내용은 과감하게 덜어 내고, 베르누이의 핵심 이론만 뽑아 원전의 30%를 옮겼다.

야코프 베르누이
야코프 베르누이(Jakob Bernoulli)
야코프 베르누이(Jakob Bernoulli, 1654∼1705)는 스위스 바젤에서 상인의 아들로 태어나 천문학과 수학을 공부한 뒤 1687년부터 바젤 대학의 수학 교수로 평생을 보냈다. 당대의 대학자인 라이프니츠와 교류하면서 미분방정식과 적분 등에 대한 연구를 발표했는데, 그의 동생 장(Jean 또는 Johann 또는 John) 역시 흐로닝언 대학의 교수로서 유명한 수학자이자 형 야코프의 경쟁자였다. 《추측술(Ars Conjectandi)》은 그의 사후 8년 뒤에 조카인 니콜라스가 출판했다. 오늘날까지도 수학과 통계학에서 널리 쓰이는 ‘베르누이 시행’, ‘베르누이 수’ 등에 그의 이름이 남아 있다.

조재근
조재근
조재근은 부산에서 태어나 서울대학교에서 통계학 전공으로 학사, 석사, 박사 학위를 받았다. 《통계학의 역사》(스티븐 스티글러 지음, 한길사, 2005), 《추측술》(자코브 베르누이 지음, 지식을만드는지식, 2008), 《확률에 대한 철학적 시론》(피에르 시몽 라플라스 지음, 지식을만드는지식, 2009) 등을 번역했으며, 《통계로 읽는 사회와 경제》(교우사, 2010), 《통계학, 빅데이터를 잡다》(한국문학사, 2017) 등의 책을 썼다. 경성대학교 빅데이터응용통계학과 교수로 일하다 2026년에 퇴임하였다.

제1부 우연에 따르는 게임에서 계산에 대한 하위헌스의 논문과 야코프 베르누이의 해설
정리 1
정리 2
정리 3
정리 4
정리 14
하위헌스의 문제 5

제2부 순열과 조합 이론
제1장 순열에 대하여
제2장 조합 자체에 대하여
제3장 선택하는 수를 한 가지만 따로 생각할 때의 조합: 도형수와 그들의 성질을 포함하여

제3부 제비를 뽑거나 운에 따르는 게임에서 다양한 방식으로 앞에 나온 이론을 이용하기
문제 19

제4부 지금까지의 이론을 사회, 도덕, 경제적 문제에 활용하고 응용하기
제1장 어떤 것의 확실성, 확률, 필연성, 우연성에 대한 몇 가지 예비적인 설명
제2장 지식과 추측에 대하여, 추측술에 대하여, 추측의 논법에 대하여, 몇 가지 적절한 일반적인 공리에 대하여
제3장 여러 가지 주장, 그리고 확률을 계산하기 위해 그 주장의 가중치를 평가하는 법
제4장 경우의 수를 찾는 두 가지 방법에 대하여. 실험에 바탕을 둔 방법을 어떻게 이해할 것인가. 이 방법에 관련해 제기되는 주목할 만한 문제, 기타 등등
제5장 앞에서 제기한 문제의 풀이

해설
지은이에 대해
옮긴이에 대해

1.
이제 세 번을 먼저 이겨야 판돈을 차지하기로 나와 상대방이 약속했다고 해 보자. 또 이미 내가 두 번, 그리고 상대방이 한 번 이겼다고 하자. 그런데 우리가 더 이상 게임을 계속하지 않고 판돈을 공정하게 나누고 싶어 한다면 내가 받아야 할 돈이 얼마인지 알고 싶다. ‘여러 사람의 기댓값이 다를 때 판돈을 어떻게 나눌 것인가’라는 문제의 답을 찾기 위해 더 쉬운 것에서 시작해야 한다.

2.
제2부에서 순열과 조합에 대한 이론을 완전히 다루었으므로 제3부에서는 방법론적인 순서에 따라, 제비뽑기와 운에 따르는 게임에서 다양한 방식으로 그 이론을 충분히 활용하여 게임 참가자의 기댓값을 결정하는 문제를 설명한다. 이 연구의 일반적 기초는 게임에서 생길 수 있는 모든 조합과 순열을 알아본 다음, 어떤 게임 참가자에게 유리하거나 불리한 경우가 그중에서 얼마나 되는지 부지런히 살피는 것이다.

3.
최소한 비슷한 상황에서 여러 번 관측하고 난 뒤에는 처음에 알지 못했던 것을 알아낼 수도 있다. 왜냐하면 과거 비슷한 상황에서 어떤 일이 어느 정도 일어나고 일어나지 않았는지 관측했다면 미래 그 일의 발생 여부도 그 정도라고 추측해야 하기 때문이다.